Законы распределения вероятностей, реализованные в R

В базовой версии R имеются функции для работы с целым рядом распространенных законов распределения вероятностей. В зависимости от назначения, имена этих функций начинаются с одной из следующих четырех букв:

• d (от "density", плотность): функции плотности вероятности ("функция распределения масс" для дискретных величин);
• p (от "probability", вероятность): кумулятивные функции распределения вероятностей;
• q (от "quantile", квантиль): функции для нахождения квантилей того или иного распределения;
• r (от "random", случайный): функции для генерации случайных чисел в соответствии с параметрами того или иного закона распределения вероятностей.

В частности, в базовой версии R реализованы следующие законы распределения вероятностей:

• Бета-распределение (см. ?dbeta)
• Биномиальное распределение (включая распределение Бернулли) (dbinom)
• Распределение Коши (dcauchy)
• Распределение хи-квадрат (dchisq)
• Экспоненциальное распределение (dexp)
• Распределение Фишера (df)
• Гамма-распределение (dgamma)
• Геометрическое распределение (как частный случай отрицательного биномиального распределения) (dgeom)
• Гипергеометрическое распределение (dhyper)
• Логнормальное распределение (dlnorm)
• Полиномиальное (= мультиномиальное) распределение (dmultinom)
• Отрицательное биномиальное распределение (dnbinom)
• Нормальное распределение (dnorm)
• Распределение Пуассона (dpois)
• Распределение Стьюдента (dt)
• Равномерное распределение (dunif)
• Распределение Вейбулла (dweibull)

В качестве примера рассмотрим d-, p-, q- и r-функции, предназначенные для работы с нормальным распределением. Предположим, что мы имеем дело с непрерывной количественной величиной X, значения которой распределены в соответствии со стандартным нормальным распределением (среднее значение = 0, стандартное отклонение = 1). Функция плотности вероятности представляет собой такую функцию \(f(x)\), что для любых двух значений \(a\) и \(b\) (при \(a \leq b\)):

\[P(a \leq x \leq b )=\int_{a}^{b}f(x)dx.\]

Иными словами, вероятность того, что некоторая случайная величина \(X\) принимает значение, лежащее в интервале \([a, b]\), равна площади под кривой плотности вероятности, ограниченной этим интервалом. По определению площадь под всей кривой плотности вероятности равна 1. Функция плотности вероятности стандартного нормального распределения задается уравнением

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.\]

R-функция drnorm() позволяет рассчитать значение функции плотности вероятности для заданного значения (или сразу для вектора из нескольких значений) \(X\). Так, для \(x = 1\) в случае со стандартным нормальным распеделением получаем

dnorm(-1)
[1] 0.2419707

Кумулятивная функция распределения (или просто "функция распределения") описывает вероятность того, что вещественнозначная случайная переменная \(X\) примет какое-либо значение, не превышающее либо равное \(x\). Для нашего примера получаем (см. также рисунок 2):

pnorm(-1)
[1] 0.1586553

Рис. 2

Для вычисления квантилей нормального распределения служит функция qnorm(). Например, следующим образом вычислить нижний и верхний квартили стандартного нормального распределения (см. также рис. 3):

qnorm(p = c(0.25, 0.75))
[1] -0.6744898  0.6744898

Рис. 3

Наконец, функция rnorm() служит для случайной генерации совокупностей нормально распределенных чисел (о генерации случайных чисел в R я писал подробнее в одном из предыдущих сообщений). Сгенерируем совокупность из 10 значений, представляющих стандартное нормальное распределение:

rnorm(10, mean = 0, sd = 1)
 [1] -2.69409418  0.09407048 -0.19622289 -1.06719782 -0.55212590
 [6] -0.94019419 -0.14916494  0.17760798 -0.29358930 -0.77420692

d-, p-, q- и r-функции для других распределений работают сходным образом. В заключение стоит отметить, что в дополнительных R-пакетах можно найти функции для работы с большим числом других законов распределения вероятностей. Особенно полезными, в частности, могут оказаться пакеты VGAM, actuar, gamlss и ActuDistns. Подробнее можно почитать здесь (англ. яз.).