Критерий хи-квадрат для таблиц сопряженности размером больше 2x2

В одном из предыдущих сообщений я описал принцип работы критерия \(\chi^2\) и привел пример его применения в отношении простейшего случая - анализа частот, сведенных в таблицу сопряженности размером \(2\times 2\). Безусловно, на практике можно столкнуться с данными, имеющими более сложную структуру. В целом, можно говорить о таблицах сопряженности размером \(R\times C\), где \(R\) - количество строк, а \(C\) - количество столбцов в таблице. Число степеней свободы в таких таблицах составляет \(df = (R - 1)(C - 1)\).

Предположим, мы выполнили исследование трех популяций наземных моллюсков, в ходе которого отмечали цвет раковины. Цвет выражался следующими тремя градациями - "светлый" (light), "темный" (dark) и "очень темный" (very dark). Необходимо выяснить, различаются ли частоты встречаемости каждого из вариантов окраски в исследованных популяциях.

Допустим, что учтенные частоты выражались следующими значениями:

light <- c(12, 40, 45)
dark <- c(87, 34, 75)
very.dark <- c(3, 8, 2)

Соберем все три вектора в одну матрицу:

color.data <- matrix(c(light, dark, very.dark), nrow = 3,
             dimnames = list(c("Pop1", "Pop2", "Pop3"),
             c("Light", "Dark", "Very dark")))
 
color.data
     Light Dark Very dark
Pop1    12   87         3
Pop2    40   34         8
Pop3    45   75         2

Дальше достаточно подать эту матрицу на функцию chisq.test():

chisq.test(color.data)
 
 Pearson's Chi-squared test
 
data:  color.data 
X-squared = 43.4337, df = 4, p-value = 8.411e-09
 
Warning message:
In chisq.test(color.data) : Chi-squared approximation may be incorrect

Поскольку полученное P-значение намного меньше 0.05 (p-value = 8.411e-09), у нас есть все основания отклонить нулевую гипотезу об отcутствии разницы между популяциями моллюска по частотам встречаемости разных вариантов окраски раковины.