29 марта 2012

Классические методы статистики: F-критерий Фишера



В общем виде критерий Фишера F, или F-тест, используется для сравнения дисперсий двух генеральных нормально распределенных совокупностей, т.е проверятся следующая нулевая гипотеза:


Генеральные дисперсии оцениваются на основе выборок, и сам критерий непосредственно рассчитывается как отношение одной выборочной дисперсии к другой:

На практике в числитель приведенной формулы обычно помещают бóльшую дисперсию, а в знаменатель - меньшую.

F-критерий можно использовать для сравнения и более, чем двух совокупностей (как, например, в дисперсионном анализе). В таких случаях критерий рассчитывается как отношение межгрупповой дисперсии к внутригрупповой дисперсии. Кроме того, F-критерий широко используется при оценке значимости линейной регрессии (подробне см. здесь).

Очевидно, что чем ближе рассчитанное значение F к 1, тем больше у нас оснований сделать заключение о справедливости приведенной выше нулевой гипотезы. И наоборот - чем больше это значение, тем больше имеется оснований отклонить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий. Критическое значение F, начиная с которого нулевую гипотезу отклоняют, определятся уровнем значимости (например, α = 0.05) и количеством степеней свободы для каждой из сравниваемых дисперсий. Кроме того, нулевую гипотезу можно проверить при помощи Р-значения для F-критерия, т.е. вероятности того, что случайная величина с соответствующим распределением Фишера окажется равной или превысит рассчитанное по выборочным данным значение F.




Для выполнения теста Фишера в R имеется функция var.test() (от variance - дисперсия, и test - тест). Используем рассмотренный ранее пример о суточном потреблении энергиии у ходощавых женщин (lean) и женщин с избыточным весом (obese):

library(ISwR)
data(energy)
attach(energy)
energy
   expend stature
1    9.21   obese
2    7.53    lean
3    7.48    lean
4    8.08    lean
5    8.09    lean
6   10.15    lean
7    8.40    lean
8   10.88    lean
9    6.13    lean
10   7.90    lean
11  11.51   obese
12  12.79   obese
13   7.05    lean
14  11.85   obese
15   9.97   obese
16   7.48    lean
17   8.79   obese
18   9.69   obese
19   9.68   obese

Дисперсии в этих двух весовых группах женщин можно легко сравнить следующим образом:

var.test(expend ~ stature)
 
        F test to compare two variances
 
data:  expend by stature 
F = 0.7844, num df = 12, denom df = 8, p-value = 0.6797
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 
95 percent confidence interval:
 0.1867876 2.7547991 
sample estimates:
ratio of variances 
          0.784446

Как видим, полученное P-значение значительно превышает 5%-ный уровень значимости, на основании чего мы не можем отклонить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий в исследованных совокупностях. Истинное отношение сравниваемых дисперсий с вероятностью 95% находится в интервале от 0.19 до 2.75 (см. 95 percent confidence interval). Исходя из данного результата, мы, например, вправе были бы использовать вариант t-критерия Стьюдента для совокупностей с одинаковыми дисперсиями при сравнении среднего потребления энергии у женщин из рассматриваемых весовых групп (подробнее см. здесь).

При выполнении F-теста и интерпретации получаемых с его помощью результатов важно помнить о следущих ограничениях (Zar 2010):




1 комментарий :

Павел Украинский комментирует...

А если совокупности нормально распределены, но это зависимые совокупности? Каким тестом тогда следует пользоваться?

Отправить комментарий